傳動軸的截麵做成圓形的力學分（fèn）析

為什麽傳動（dòng）軸的（de）截麵（miàn）做成圓形？今天就從技術角度（dù）來分（fèn）析（xī）一下。

1.扭轉（zhuǎn）的力學分析

1.扭曲的形式

(1)扭矩符號的約定

(2)圓形截麵杆件的扭轉（zhuǎn）變形

圓軸扭轉後，橫截麵保持平（píng）直，形狀和大小不變，半徑保（bǎo）持為軸，各橫截麵隻相對轉動微小的角度γ。

(3)非圓截麵杆件的扭轉

自由扭轉:當杆件截麵為非圓形時，扭轉變形時（shí）截麵會翹（qiào）曲，相鄰截麵的翹曲程（chéng）度相同，所以所有縱向（xiàng）纖（xiān）維的長度不（bú）會發生變化，截麵上不會（huì）有正應力而是剪應力。自（zì）由扭轉隻有在等直杆兩端受外扭矩時才（cái）能實現，相鄰截麵的翹曲不受外界條件約束。

扭轉:當不等直杆扭轉時，扭矩沿杆長變化，或（huò）端麵受約束（shù）自由翹曲，相鄰截麵翹曲（qǔ）程度不同，截（jié）麵上不（bú）僅有剪應力，還有正應（yīng）力。實心截麵杆（gǎn）中由約束（shù）扭轉引起的正應力通常很小，可以忽略不（bú）計。然而，對（duì）於薄壁（bì）截麵，法向應力太大，不能忽略。

2.基本假設

(1)平（píng）麵假說

扭轉後，圓形截麵（miàn）保持平坦，其形狀和尺寸保持不變，其半徑保持不變，截（jié）麵僅相對旋轉微小的角度γ。這個（gè）假設（shè）隻對圓形截麵軸有效，對非（fēi）圓形截麵軸無效。

相鄰截麵之間的距離不變，截麵上除τzx=τzy外無正應力；σx=σy=σz=τxy=0 .

(2)電影類比

普朗特指出，薄膜(液膜)在均勻壓（yā）力下的垂度在數學上類似於等截（jié）麵直杆扭（niǔ）轉問題（tí）中的應力函數（shù）。扭杆與薄膜（mó）對比有（yǒu）助於解決扭轉問題。如圖5所示，在水平邊界上有一個均勻的薄膜被拉伸。水平邊界與扭力杆的橫截麵邊界（jiè）具有相同的形狀（zhuàng）和大小。當薄膜受到小的均勻壓力時，薄膜（mó）的每個點都會產生小的凹陷。如果邊界所在的平麵是xy平麵，則垂度（dù）為z，由於薄膜的柔性，可（kě）以假定它不承受彎矩、扭矩（jǔ）、剪力和（hé）壓力，隻（zhī）承受均勻的拉力FT(類似於（yú）液膜的表麵張力)。根據（jù）分析，扭杆橫截麵上某一點任意方向（xiàng）的剪應力等（děng）於對應點處薄膜（mó）的垂直斜率。可以看出，扭杆橫截麵上的最大剪應力（lì）等於薄膜的最大斜率。但需要注意（yì）的是，最大剪應力方向和最大斜率（lǜ）方向是相互垂直的。使用這種假設（shè），具有非圓形橫截（jié）麵的直杆的最大剪應（yīng）力和相對扭轉角可以在下麵的表1中獲得。

3.扭轉剪應力和扭轉角的計算

(1)實心圓軸

在（zài）假（jiǎ）設1和假設（shè）2的條件下（xià），塑性材料（liào）在純（chún）剪切下的力學性質為:τ=Gγ，γ為剪切應變；γ=φR/L(γ是距離為L的兩段的相對扭（niǔ）轉角；φ為扭轉端的端麵角度，R為圓的外半徑，L為兩段之間的（de）距離)。

在相同的扭矩下，τ τ τ與τ成正比，即τ越大，τ越大。當ρ = r時，得到圓形截麵邊緣的（de）最大剪應力。由於R和IP都是隻與截麵幾何形狀有關（guān）的量，所以可以表示為Wp=IP/R，稱為圓軸的扭（niǔ）轉截麵模量，所以τmax=T/WP。可以看出，杆的扭轉（zhuǎn）剪應力（lì）與其橫截（jié）麵積沒有直接關係。圓形截麵（miàn）實心軸的扭轉係數WP≈0.2D3。

圓棒扭轉時的扭轉角φ，GIP是圓截麵的扭轉（zhuǎn）剛度，反映了軸抵抗變形的能力（lì）。距（jù）離為L的兩個截麵的（de）相對扭轉角為:

(2)空心圓軸

空心軸的截麵扭轉係數約為:WP≈0.2D3(1-α4)，0

(3)封閉薄壁管（guǎn）

對於圓管，當圓（yuán）管的壁厚δ遠小於半徑R0(一般認為≤R0/10)時，稱為薄壁圓管。這種管件可以是（shì）等截麵的任何形狀。因為是薄壁（bì）管（guǎn），所以可以假設剪應力均勻分布在整個壁厚(T)上，可以得（dé）到近似解。根據剪應力的互易性，可以得出管段上所有點的平（píng）均軸向剪應力等（děng）於管壁的乘積，即剪（jiǎn）流Q相等。因為（wéi）Q值在整個截麵上（shàng）是恒定的，所（suǒ）以剪應力（lì）在（zài）最小壁厚（hòu）處最大。當管道截（jié）麵為圓形時，AM = π r0，增大圓柱體直徑可以大大降低（dī）剪應力值。

二、扭轉破（pò）壞形式

1.破壞順序

在扭轉試驗中，試樣橫截麵上的應力分（fèn）布是不（bú）均勻的，表麵最大，向中心方向較小。所以在扭轉時，材料的破壞是（shì）由（yóu）外向內的，裂紋首先從圓杆的最外層開始。在（zài）工程中，扭轉試驗常用於檢查材料的表麵缺陷和表麵硬化層的性能。如圖7所示。

2.塑料材（cái）料（liào）

對於低碳鋼等塑性材料製成的圓軸，在扭轉（zhuǎn）過（guò）程中軸的表麵首先屈（qū）服，隨著扭轉變形的增（zēng）大（dà），圓周最終沿截麵剪切。由（yóu）於材料的抗剪能力低於抗拉能力，且在截麵上具有最大剪應力，所以斷裂發生（shēng）在截麵上，表現為剪（jiǎn）切破壞。工程中，截麵外緣的最大剪（jiǎn）應力達到材料的剪切（qiē）屈服極限τs為危險狀態，並以此為基礎建立強度條件。而（ér）當邊緣的剪應力達（dá）到屈服極限（xiàn）時，其（qí）他部分仍處於線彈（dàn）性工作狀態，圓棒不會有明顯的塑性變形，即扭（niǔ）矩可以繼續增大。當考慮材料的塑性時（shí），實心圓棒（bàng）的極限扭矩(塑性扭矩)比屈服扭矩大1/3(工程簡化計算結果)。當截（jié）麵（miàn）邊緣的剪應力達到（dào）材料的剪切屈服極限τs時（shí），隨著扭（niǔ）轉偶矩的增大，塑性區逐漸向內擴展，截麵邊緣的材料開始強化。如果（guǒ）扭轉力偶繼（jì）續增（zēng）加，裂紋將首先從圓棒的最外層開始，最後沿橫（héng）截麵被剪切。如圖8所示。

3.脆性材料

由抗拉強度低（dī）於（yú）抗剪強度的脆性材料(如鑄鐵)製（zhì）成的圓軸在扭轉破（pò）壞時（shí），變形很小（xiǎo），在（zài）與軸線成45°左右傾角的螺旋麵上斷裂。因為在與軸線成135°的斜麵上有最大拉應力，當這個截麵（miàn）上的最大拉應力超過材料的抗拉強度極限（xiàn）時，這個截麵上就會發生拉伸破壞。如（rú）圖9所示。

4.原木的（de）扭轉破壞

圓木杆的內扭矩T不僅在截麵上產生一個徑向線性剪應力，而（ér）且在軸向（xiàng）平麵（miàn）上也（yě）產生一個相應的剪應力，導致軸向平麵上的開裂。由於木材是各向（xiàng）異性材料，軸（zhóu）向平行於（yú）纖（xiān）維的剪切力比垂直於纖維橫截麵的剪切力小（xiǎo）得多，因而呈現如圖10所示的開裂形式。

三。軸的扭轉設（shè）計（jì）

1.不同截麵杆件的扭轉性能

根據彈性理論分（fèn）析，正方（fāng）形截麵、三角形截麵和橢圓形截麵（miàn）的最大應力和扭轉（zhuǎn）角的計算公（gōng）式如圖所示。在所有情況下，最大剪應力（lì）存在於截麵邊界線上最靠近中心軸的位置。從封閉薄壁管（guǎn）的角度（dù）來看，相對於中心軸線最薄（báo）的位置剪應力最大。

設圓、正方形、正三角（jiǎo）形、橢圓的麵積都（dōu）為S，受的力矩t相同，那麽，正方形的邊長為a=S 1/2，正三角形的邊長為a≈2.3S 1/2。從圖中給出的最大應力計算公式可以看出，在相同的截麵積和扭矩下（xià），正三（sān）角形截（jié）麵上的最大剪應力約為正方形的1.8倍（bèi）；對於橢圓，當a=b時為圓形，a=0.56S 1/2時，正（zhèng）方形的最大剪應（yīng）力約為圓形的1.32倍；當a≠b為橢圓，且1 > b/a = λ > 0時（shí），橢圓的最大剪應力與圓的最大剪（jiǎn）應（yīng）力之比為λS -2，因此λ越小，其剪應力比圓的大。

通過（guò）以上比較可以得出，在相（xiàng）同的截麵和相（xiàng）同的扭（niǔ）矩（jǔ）下，圓形截麵上的最大剪應力最小，扭轉（zhuǎn）角小於非圓形截（jié）麵的軸。所（suǒ）以把傳動軸做成圓（yuán）形，在（zài）抗扭方麵有天然的比較優勢（shì）。將上述結果推廣到（dào）任意截麵，可以證明圓形截麵（miàn）軸的效率最高[5]。

2.根據扭矩估計軸（zhóu）的直徑。

當重要官的長度和跨度未確定時，無法得到支座反力和彎矩。對於多（duō）支點（diǎn）或不重要的軸，通常根據軸所承受的扭（niǔ）矩來估算軸徑，如表1所示（shì）。a是與材料有關的係數（shù），可從參（cān）考文獻[7]中得到。

3.管軸

這是由於在扭轉載荷下圓（yuán）形橫截麵（miàn）軸的大表麵剪切應（yīng）力和相對小的芯（xīn）部。因此，通過去除（chú）未充分（fèn）發揮其（qí）作用的部（bù）分芯材，可以有效地（dì）減輕軸的（de）重量並提高軸的彎曲性能。但是，軸類（lèi）零件是否一定要做成空心的，不僅需要力學上的考慮，還（hái）需要（yào）工藝性和（hé）製造成本。同時，壁厚不能太薄，否則會出現（xiàn）局部（bù）褶（zhě）皺，失去（qù）承載能（néng）力。當圓柱體的壁厚δ遠小於半（bàn）徑R0(一般認為（wéi）≤R0/10)時，稱為薄壁圓柱體。然而，如（rú）果薄壁管具有沿軸線的縱向開口，其扭轉（zhuǎn）性能將顯著降低。因此，通常采用增加隔板等（děng）措（cuò）施來提高其抗扭剛度和強（qiáng）度。

4.應力集中

軸通常由不同的部分組成。在截麵過渡位置，空間的突（tū）變會引起應力集中，這也是軸類零件常見的失效形式。如何選擇和確定兩個相（xiàng）鄰截麵的大直徑和過渡（dù）圓角可在參考文獻[7，8]中找到。

5.圓（yuán）柱螺旋彈（dàn）簧

圓柱彈簧是機械工程中的一（yī）種常見零件（jiàn）。其基本（běn）特征是彈（dàn）性變形大，軸呈螺旋狀。在設計中，通常考慮負載大的彈簧（huáng）的強度（dù）；但一般考慮彈簧在小載荷下的變形；一般來說，不（bú）重要的彈簧隻需要根據結（jié）構尺寸來（lái）選擇。彈簧的（de）設計（jì）計算（suàn）方法見（jiàn）參考文（wén）獻[8]，也見GB/T1239係列標準、GB/T2089、DIN2089等標準。

四。材料的剪切和拉伸性能

在靜載荷作用下，材料在扭轉和（hé）拉伸時的力學性能有一定的關係，所以許用剪應力[τ]由材料（liào）的[σ]決定:

從（cóng）上（shàng）表可以看出，文獻[1，2]中給出的剪應力與正應力的關係（xì）是不同的。根據文獻[2]提供的（de）幾種塑性材料（liào）的剪應力與正應力之比，0.5~0.7[σ]較為合適，在沒有確切的剪應力數據時，上述關係隻是一個粗略的估計。如果要（yào）進行精確的檢查，有必要（yào）獲得材（cái）料的比扭轉強度。