傳動軸的截麵做成圓形的力學分析

為什麽（me）傳動軸的截麵做成圓形？今天就（jiù）從技（jì）術角度來分析一下。

1.扭轉的力學分析

1.扭曲的形式

(1)扭矩符號的約定

(2)圓形截麵杆件的扭轉變形

圓軸扭轉後，橫截（jié）麵保持（chí）平直，形狀和大小不變，半徑保持為軸，各（gè）橫截麵隻相對轉動微小的角度（dù）γ。

(3)非圓截麵杆（gǎn）件的扭轉

自由（yóu）扭轉:當杆件截麵（miàn）為非圓形時，扭轉變形時截麵（miàn）會翹曲（qǔ），相鄰（lín）截麵的翹曲程度相同，所以所有縱向纖維的長度（dù）不會發生變化，截麵上不會有正應力而是剪應力。自由扭（niǔ）轉隻有在等直杆兩端受外扭（niǔ）矩時才（cái）能實現，相鄰截麵的翹曲不受外界條件約（yuē）束。

扭轉:當不等直杆扭轉（zhuǎn）時，扭矩沿杆長變化，或端麵受約束自由翹曲，相鄰截麵翹曲程度不（bú）同，截麵上不僅有剪（jiǎn）應力，還有正應力。實心截麵杆中（zhōng）由約束扭轉引起的正應力通常很小，可以忽略不計。然而，對於薄壁截麵，法向應力太大，不能忽略。

2.基（jī）本假設（shè）

(1)平麵假說

扭（niǔ）轉後（hòu），圓形截麵（miàn）保持平坦，其形狀（zhuàng）和尺寸保（bǎo）持不變，其半徑保持不變，截麵（miàn）僅相對（duì）旋轉微小的角度γ。這個假設隻對圓形截麵軸有效（xiào），對非（fēi）圓形截麵軸無效。

相鄰截麵（miàn）之（zhī）間的距（jù）離不變，截麵上除（chú）τzx=τzy外無正應力；σx=σy=σz=τxy=0 .

(2)電影類比

普朗特指出，薄膜(液膜)在均勻壓力下的（de）垂度在數學上類似於等截麵直杆（gǎn）扭（niǔ）轉問題中的應力函數。扭杆與薄膜對比有助於解決扭（niǔ）轉問題。如圖（tú）5所示，在水平邊（biān）界上有一個（gè）均勻的（de）薄膜（mó）被拉伸。水（shuǐ）平邊界與扭力杆（gǎn）的橫截麵邊界具有相同的形狀和大小。當薄膜受到小的均勻壓力（lì）時，薄膜的每個點都會產生小的凹陷。如果邊（biān）界所在（zài）的平麵是xy平麵，則垂度為z，由於薄膜的柔性，可以假（jiǎ）定它不承受彎矩（jǔ）、扭矩、剪力和壓力，隻承受均勻的拉力FT(類似於液膜的表麵（miàn）張力)。根據分析，扭杆（gǎn）橫截麵上某一點任意方向的剪應（yīng）力等於對（duì）應點處薄膜的垂直斜率。可以（yǐ）看出，扭杆（gǎn）橫截麵上的最（zuì）大剪應力等於薄膜的最大斜率。但需要注意的是，最大剪應力方向和最（zuì）大斜率方向是相互（hù）垂直（zhí）的。使用這種假設，具有非圓形（xíng）橫（héng）截麵的直杆的最（zuì）大剪應力和相對扭轉角可以在下麵的表1中獲得。

3.扭（niǔ）轉剪（jiǎn）應力和扭轉角的計算

(1)實心圓軸

在假設1和假設2的（de）條件下，塑性材料在（zài）純剪切（qiē）下的力學性質為:τ=Gγ，γ為（wéi）剪切應變；γ=φR/L(γ是距離為L的兩段（duàn）的相對扭轉角；φ為扭轉端的端麵角（jiǎo）度，R為圓的外半徑，L為兩段之間的距離)。

在相同的扭矩下（xià），τ τ τ與τ成正比，即τ越大，τ越大。當ρ = r時，得到圓形截麵邊緣的最大剪應力。由（yóu）於R和IP都是隻與截麵幾何形（xíng）狀有關的量，所以可（kě）以表示為Wp=IP/R，稱為圓軸（zhóu）的扭轉截麵模量，所以τmax=T/WP。可以看出，杆的（de）扭轉剪應力與其橫截麵（miàn）積沒有直接關（guān）係（xì）。圓形截麵實心軸的扭轉係數WP≈0.2D3。

圓棒（bàng）扭轉時的扭轉角φ，GIP是圓截麵的扭轉剛度，反映了軸抵抗變形的（de）能（néng）力。距離為L的兩個截（jié）麵的（de）相對扭轉角為（wéi）:

(2)空心圓軸

空心軸的（de）截（jié）麵扭轉係數約為:WP≈0.2D3(1-α4)，0

(3)封閉薄壁管

對於圓管，當圓管的壁厚δ遠小（xiǎo）於半徑R0(一般認為≤R0/10)時，稱為薄壁圓管。這種管件可以是等（děng）截麵的任何形（xíng）狀。因為是薄壁管，所以可以假設剪應力均（jun1）勻分布在整個壁（bì）厚(T)上（shàng），可以得到近似解。根據剪應力的互易性，可以得（dé）出管段（duàn）上所有點的平均軸向（xiàng）剪應（yīng）力等於管壁的乘積，即剪流Q相等。因為Q值在整個截麵上是恒定的，所以剪應力在最小壁厚處最大。當管道截麵（miàn）為圓形時，AM = π r0，增大圓柱體直徑可以大（dà）大降低剪應力值。

二、扭轉（zhuǎn）破壞形式

1.破壞順序

在扭轉試驗中，試樣橫截麵上的應力分布是不均勻的，表（biǎo）麵最大，向中心（xīn）方向較小。所以在扭轉時，材料的破壞是由外向內的，裂紋首先從圓杆的（de）最外層（céng）開始。在工程中，扭轉試驗常用於檢查材料的表麵缺陷和表麵硬化層的性（xìng）能。如圖7所示。

2.塑料（liào）材料

對於（yú）低碳鋼等塑性材料製成的圓軸，在扭轉過程中軸的表麵首先屈服，隨（suí）著扭轉變形的增大，圓周最終沿（yán）截麵剪切。由於材料的抗剪能力低於抗拉能力（lì），且在截麵（miàn）上具有最大剪應力，所以斷裂發生在截麵上，表現為剪切破壞。工程（chéng）中，截麵外緣（yuán）的最大剪應（yīng）力達到（dào）材料的剪切屈服極限τs為危（wēi）險狀態，並以此為基礎建立強度條件。而當邊緣的剪應力達到屈服極限（xiàn）時，其他部分仍處於線彈性工作狀態，圓棒不會有明（míng）顯的塑性變形（xíng），即扭矩可以繼續增大。當考慮材料的塑性時，實心圓棒的極限扭矩(塑性扭矩)比（bǐ）屈服扭矩（jǔ）大1/3(工程（chéng）簡化計算結果)。當截麵邊（biān）緣（yuán）的剪（jiǎn）應力達到材料的剪切（qiē）屈服極限τs時，隨著扭（niǔ）轉偶矩的增大，塑性區逐漸向內擴展，截麵（miàn）邊緣的材料開始強化。如果扭轉力偶繼續增加，裂（liè）紋將（jiāng）首先從圓（yuán）棒的最外層開始，最後沿橫截麵被剪切（qiē）。如圖8所（suǒ）示。

3.脆性材料

由抗（kàng）拉強度低於抗剪強度的脆性材料（liào）(如鑄鐵)製成的圓軸在扭轉（zhuǎn）破壞（huài）時（shí），變形很小，在與（yǔ）軸線成45°左右傾角的螺旋麵上（shàng）斷裂。因（yīn）為在與軸線成135°的（de）斜麵上有最大拉應力，當這個截（jié）麵上的最大拉應力超過材料的抗拉（lā）強度極限時，這個截麵上就會發生拉伸破壞。如圖9所示（shì）。

4.原木的扭（niǔ）轉破（pò）壞（huài）

圓木杆（gǎn）的內扭矩T不僅在（zài）截麵上產生一個（gè）徑向線性剪應力，而且在軸向平麵上也產生一個相應的剪（jiǎn）應（yīng）力，導致軸向平麵（miàn）上的開裂。由於木材是各向異性材料，軸向平行於纖維的剪切力比垂直於纖（xiān）維橫截麵的剪切力小得多，因而呈現如圖10所示（shì）的開（kāi）裂形式（shì）。

三。軸的扭轉設（shè）計

1.不同截麵杆件的扭轉性能

根據彈性理（lǐ）論分析，正方形截麵（miàn）、三角形截麵和橢圓形截（jié）麵的最大應力和扭轉角的計算公式如（rú）圖所示。在所有（yǒu）情況下，最大剪應力存在於截麵邊界線（xiàn）上最靠近中心軸的位置（zhì）。從封閉薄壁（bì）管的角度來看，相對（duì）於中心軸線最薄的位置剪應力最大。

設圓、正（zhèng）方形、正三角形、橢圓的麵積都為S，受的力矩t相同，那麽，正方形的邊長為a=S 1/2，正三角形的邊長為a≈2.3S 1/2。從圖中給出的最大（dà）應力計算公式可以看出，在相同的截麵積和扭矩下，正三角形截麵上的最（zuì）大剪應力約為正方形的1.8倍；對於橢圓，當a=b時（shí）為圓形，a=0.56S 1/2時，正方形的最大剪應（yīng）力約為圓形的1.32倍；當a≠b為橢圓，且1 > b/a = λ > 0時（shí），橢圓的最大剪應力與圓的最大剪應力之比為λS -2，因此λ越小，其剪應力比圓的大。

通過以上比（bǐ）較可以得出，在相同（tóng）的截麵和相同（tóng）的扭（niǔ）矩下，圓形截麵（miàn）上的最大剪應力最小（xiǎo），扭轉角小（xiǎo）於非圓形截麵的軸。所以把傳動軸做成圓形，在抗扭（niǔ）方麵（miàn）有天然（rán）的比較優勢。將上述結果（guǒ）推廣到任意截麵，可（kě）以證明（míng）圓形截麵軸的效率最高[5]。

2.根據扭矩估計軸的直徑。

當重要官的長度（dù）和跨度未確定（dìng）時，無法得到支座反力和彎矩。對於多支點或不重要的軸，通常根據（jù）軸所承受的扭矩來估算軸徑，如表1所示。a是與材料（liào）有關的係數，可從參考文獻[7]中得到。

3.管軸

這是由於（yú）在扭轉載荷下圓形橫截麵軸（zhóu）的大（dà）表麵剪切應力和相對（duì）小的芯部。因此，通過去除未充分發揮其作用的部分芯材，可以有效地減（jiǎn）輕（qīng）軸的重量並提高軸的彎曲性能（néng）。但是，軸類零件是否一定要做成空心的，不僅需要力學（xué）上的考慮（lǜ），還（hái）需要工藝性和製造成本。同（tóng）時，壁厚（hòu）不能（néng）太薄，否則（zé）會出現局部褶皺，失去承載（zǎi）能力。當圓柱體的（de）壁厚δ遠小於半徑R0(一般認為≤R0/10)時，稱為薄壁圓柱體。然而，如果（guǒ）薄壁管具（jù）有沿軸線的縱向開口，其扭轉性能將顯著降低。因此，通常采用增加隔板等措施來提高（gāo）其抗扭剛度和強度。

4.應力集中

軸通常由不同的部分（fèn）組成。在截麵過渡位置，空間的突變會引起應（yīng）力集中，這也是軸類零件常見的失效形式。如何選擇和確（què）定兩（liǎng）個相鄰截（jié）麵的大直徑和過渡圓角可在參考文獻（xiàn）[7，8]中找到。

5.圓柱螺旋彈簧

圓柱彈簧是機械工程中的（de）一種常見零件。其基本特征是彈性變形（xíng）大（dà），軸呈螺旋狀。在設計中，通常考慮負載大的彈簧的強度；但一般考慮彈簧在小載荷下的變形；一般（bān）來說，不重要的彈簧隻需要根據結構尺寸來選擇。彈簧（huáng）的設計計算方法見參考文獻[8]，也見GB/T1239係列標準、GB/T2089、DIN2089等標準。

四（sì）。材料的（de）剪切和拉伸性能

在（zài）靜載荷作用（yòng）下，材料在扭轉（zhuǎn）和拉伸時的力學性能有一定的關係（xì），所以許用剪應力[τ]由材料的[σ]決定:

從上表可以看出，文獻[1，2]中給出的剪應力與正應力的關係（xì）是不同的。根據文獻[2]提（tí）供的幾種塑性材料的剪應力（lì）與（yǔ）正應力之比，0.5~0.7[σ]較為合適，在沒有確切的剪應力數據時，上述關係隻是一個粗略的估計。如果要進行精確的（de）檢查，有必要獲得材料的比扭轉強度。